Att minnas π

Symbolen för pi

Pi är en matematisk konstant som bland annat används för att beskriva förhållandet mellan en cirkels yta och dess radie: Cirkelns yta beräknas som cirkelradien² x pi.

Pi betecknas med den gemena grekiska bokstaven pi: π. Många minns kanske från skolmatten att pi börjar med 3,14. Det är ett närmevärde som duger i de allra flesta sammanhang.

Till vardags spelar det ingen större roll om man räknar med 2 eller 15 decimaler, och oavsett hur många decimaler man använder blir resultatet ändå aldrig exakt. Värdet på pi är ett decimaltal med oändlig decimalutveckling och utan regelbundenhet. Det kan inte uttryckas exakt med siffror.

Till exempel ISS
Låt oss säga att rymdstationen ISS befinner sig 6700 km från Jordens mittpunkt. Om ISS går i en cirkelrund bana runt Jorden blir diametern i banan 13400 km. Med diametern x pi får man längden på ett varv runt Jorden för ISS. Skillnaden om man räknar med 8 respektive 15 decimaler i pi blir ungefär 5 cm!

Här kan det vara viktigt att visa hur många decimaler man faktiskt har använt. Om man beräknar banlängden med 2 decimaler på pi i stället för 15, blir skillnaden drygt 21 km.

Mäta omkretsen exakt
Förhållandet mellan cirkelns omkrets (O) och dess diameter (D) uttrycks som O = D x π, men π har inget exakt siffervärde. Om man har den exakta längden på diametern, kan man då ange en exakt längd på omkretsen? Nej, det kan man faktiskt inte, eftersom det skulle leda till ett exakt siffervärde på π. Och omvänt: Om man råkar ha den exakta längden på omkretsen, kan man inte ange en exakt längd på diametern.

π är exakt 3!
Man kan alltså få riktigt bra mätresultat om man använder pi med ett lämpligt antal decimaler. Däremot blir det lätt aningen tokigt om man litar på professor Frink. I ett avsnitt av The Simpsons (säsong 12, Bye Bye Nerdie) skaffar han sig omedelbar uppmärksamhet från de pladdrande åhörarna (vetenskapsmän) genom att utropa: "Pi är exakt 3!"

Mätfelet för ISS blir nu nästan 190 mil, vilket skulle göra det knepigt för en transport från Jorden att ens hitta rymdstationen, för att inte tala om att docka med den. Låt oss hoppas att det bland de ansvariga för rymdtrafiken inte finns någon som trodde blint på professor Frink!

Lag om π=3
År 1998 tillkännagavs på Internet att delstaten Alabama i USA lagstiftat om att värdet på pi skulle vara exakt 3. Påståendet fick stöd av texter som "Lily Ponja, en medlem i den delstatliga skolstyrelsen, hör till dem som med det snaraste vill ha in det nya värdet på pi i läroböckerna. Hon anser dock att det gamla värdet bör få kvarstå som ett alternativ.
    – Enligt min uppfattning är värdet av pi bara en teori, och vi bör vara öppna för alternativa tolkningar, säger hon. Hon ser det som fördelaktigt att eleverna själva får avgöra vilket värde pi skall ha."

Det här publicerades den 1 april, ett datum som borde ha fått läsarna att dra öronen åt sig. Texten fick snabbt en mycket stor spridning. Naturligtvis var det ett aprilskämt och hela texten finns att läsa på Alabama π.

Men skämtarna var faktiskt inte först om det här påståendet. I sf-romanen Stranger in a strange land (sv. Främling på egen planet), som kom redan 1961, nämner Robert A. Heinlein att delstaten Tennessee har infört värdet 3 på pi.

Star Trek och π mot ondingar
Pi är intressant också på så sätt att det är ett av mycket få matematiska begrepp som återkommande dyker upp i skönlitteratur och filmer. I ett avsnitt från 1967 av Star Trek försöker ett ont väsen med farkostdatorns hjälp döda besättningen på Enterprise. Först skall dock besättningen försättas i yttersta skräck och fruktan, känslor som det ondsinta väsendet lever av. Spock ger då datorn order att beräkna värdet på pi till sista siffran. Datorn går in i en oändlig beräkning och kommer att fortsätta tills den får order att sluta. Därmed blir datorn oåtkomlig för den ondskefulla varelsen.

Poesi för π
Det finns en rad knep för den som vill lära sig att rabbla pi med många decimaler. För över trettio år sedan tänkte jag att en "pi-dikt" kanske vore en möjlighet. Varje ord får beteckna en enda siffra, vars värde anges av antalet bokstäver i ordet. Decimalkommat anges med ett vanligt kommatecken. Sedan kunde man lära sig dikten utantill.

Det här blev resultatet:

Hör, I vise i högre matematik
vi räknar exakt som gamle Euklides
Framräkna radiens kvadratur
med pi man cirkelns area finner
Så klaras lätt all vår geometri
mer än trettio decimaler gives

När orden ersätts med siffror får man 3,1415926535897932384626433832795 – nästa decimal är 0.

Det här är ju en god början, men skall jag komma lika långt som kinesen Lu Chao, som år 2005 klarade 67 890 decimaler, måste jag skriva 2 189 lika långa strofer till.

Nyfödd och redan amiral

I morse kläcktes det som förmodligen blir årets sista kull av amiralfjärilar. Än finns det ganska gott om mat åt dem i trädgården. Mynta, rudbeckia, septembersolros och rosenflockel blommar fortfarande och höstastrar och ölandstok är fulla av blom.

Men hösten närmar sig obevekligt. Temperaturen nattetid kryper ned strax under 10°C, åtminstone under klara nätter, och om bara några dagar är det höstdagjämning.

Så hallå där, lilla amiralen! Om du vill ha barn och barnbarn i stället för att dö i vinterkylan, måste du ge dig av söderut snart. Du har lång väg att flyga.

Fånga det småtta

På eldkaprifolens blad sitter små saker som liknar insektsägg, på jämförelsevis långa skaft. De är inte många – som mest kanske två på samma blad och jag har inte sett mer än ett tiotal i hela kaprifolen.

Men varken mina ögon eller mina glasögon är anpassade för att se sådana här småttigheter. Hela den vänstra strukturen, med skaft och allt, mäter högst 3 mm, varav själva "ägget" är litet mer än 0,3 mm långt och ungefär en tredjedel så brett. Det är knappt att jag kan skönja ägget i naturen, och det tunna skaftet blir omöjligt att se.

I mikroskopet kan jag se att ägget är vitt (den gröna tonen i bilden ovan är reflekterad färg från bladytan) och att det verkar ha en brottanvisning för en öppning längst ut. Jag ser dessutom att skaftet, som är mycket, mycket tunnare än ett hårstrå, är glasklart och genomskinligt som en salivtråd.

Jag prövade med kameran i stället, inställd på extrem närbild. I det här läget kunde jag naturligtvis inte ställa in skärpan själv. Jag fick lita på kamerans autofokus och jag hade ingen större förhoppning om att det skulle fungera.

Det här blev resultatet. I bilden till höger har jag använt locket till en kryddburk som bakgrund för att få bättre skärpa och kontrast. I den här strukturen är skaftet kortare än i den andra, en ytterligt tunn spindeltråd är virad runt skaftet och i toppen av ägget syns något litet skräp. Längst ned finns en liten "klisterklick" som skaftet sitter fast i.

Frågan återstår förstås om vad det här är. Först tänkte jag att det kunde vara antingen ett småkrypsägg eller en pytteliten svamp. Men nu, med tanke på att svampar inte sätter sig fast med klisterklickar utan direkt i underlagets vävnader, har jag bestämt mig för att det måste vara en insekt eller en spindel som placerar sin blivande avkomma så här. Jag skall försöka fästa något slags ljus- och luftgenomsläpplig men ändå rymningssäker behållare kring något av bladen med skaftat ägg. Förhoppningsvis får jag då så småningom svar på frågan.

Jag brukar ha en lupp liggande i jackfickan, men jag kanske skulle börja använda kameran som lupp i stället!

Grönt blir rött

Först den biologiska förklaringen Löven innehåller det gröna färgämnet klorofyll, och under sommaren använder trädet detta för att tillverka näring. När hösten kommer och det börjar bli kallt upphör näringstillverkningen. Klorofyllet bryts ned och den gröna färgen försvinner.

Men klorofyllet är inte det enda färgämnet i löven. Där finns även gula, orange och röda färgämnen, så kallade karotenoider – samma grupp av färgämnen som ger morötterna färg.

Dessa färger syns inte så länge klorofyllet finns kvar, men när det försvinner framträder färgerna.

Ljuset som träffar bladen har olika våglängder med olika färger – vi ser dessa färger i regnbågen. Färgerna vi ser omkring oss beror på vilka våglängder som reflekteras. Löven innehåller antocyanin, som absorberar blått, blågrönt och grönt ljus. Det ljus som reflekteras från löv som innehåller antocyanin uppfattar vi då som mer eller mindre rött.

Den andra sidan Känslan när vi ser lönnarna bli röda kan inte förklaras med kemi eller fysik – åtminstone inte enkelt. Vi blir glada. Människor ler när solen bryter fram mellan molnen och tänder flammande färger i ett regnvått träd. När en lång sommar börjar närma sig slutet kan vi till och med börja längta efter hösten och de vackra färgerna.

Men varför? De där korta veckorna, de är ju bara ett mellanspel innan det vackra försvinner och det levande tynar bort. Är de värda allt som kommer efteråt? Höstregnen och blåsten. Mörka morgnar och kvällar. Snö, gråslask och kyla. Så varför blir vi glada?

Är det kanske för att vi har en hemlighet, ett vapen mot höstrusket och vinterkylan: Vi vet vad som kommer efteråt. Det kommer en ny vår, med nytt liv, då vi kan glädja oss åt all den nya grönskan igen. Det vet vi. Och hur skulle vi kunna glädja oss åt våren om höstrusket ovh vinterkylan aldrig fanns?

Annorlunda varelser

Mosstrollsmör, Fuligo muscorum. Det här är en myxomycet, eller en acellulär slemsvamp. Äkta slemsvampar, som de också kallas, betraktades förr som svampar men numera förs de till en egen organismgrupp, Myxomycetes. Men det här är ingen växt, inget djur och inte ens en svamp.

Den är "någonting annat", och detta andra är i det här fallet en organism i en liten grupp av liknande organismer som fullständigt saknar motsvarighet på Jorden. Varelsen – den äkta slemsvampen – går cykliskt igenom i stort sett följande fyra livsformer: 1 Sporen, som är anpassad för geografisk spridning och överlevnad under många olika miljöbetingelser; 2 Den frilevande encelliga gameten (könscellen); 3 Det mångkärniga men encelliga plasmodiet; 4  Slutligen fruktkroppen som skapar sporer och i viss mån bidrar till deras spridning. Dessutom finns ett par extraformer som hjälper till med överlevnaden när tillvaron blir svårare.

Fruktkroppar av glansgryn 
Leocarpus fragilis

Det här är alltså en livscykel som saknar motsvarighet bland andra organismer, och det i sig är en anledning till att samla slemsvamparna i en egen grupp.

I det stadium då myxomyceten tar upp näring bildar den ett plasmodium. Detta är en stor cell med många kärnor och cellen kryper omkring på underlaget som den tar sin näring från.

Cellen kryper genom att protoplasman – det trögflytande innehållet i cellen – pulserar fram och tillbaka. Pulserandet sker hela tiden litet mer framåt än tillbaka, och summan blir att cellen rör sig framåt.

Ett dygn senare

Låter det som science fiction? Då kan vi lägga till folktron: När trollmor nattetid kärnade smör, hände det att hon tappade smörklickar på marken. Såg man sådana smörklickar, var det ingen idé att själv kärna smör. Det skulle bara härskna.

Trollsmör är den myxomycet man oftast ser, kanske därför att den är en av de största. Plasmodiet, som alltså är en enda cell, kan bli en halvmeter tvärsöver. Så glöm det där med att strutsägget skulle vara den största cellen.

Plasmodium, troligen av Physarum

För mig är det här ett alldeles nytt område, och mycket intressant. Jag hade turen att hitta tre olika arter på lika många dagar. Just nu har jag en liten grupp glansgryn stående i köket för att få se vad som händer med dem. Under det senaste dygnet har de ändrat färg från orangegult till varmt brunt.

Det finns omkring 700 kända arter av myxomyceter, varav cirka 225 i Sverige. Men det är högst troligt att mörkertalet är stort. De är ju litet svåra att upptäcka – väldigt många myxomyceter är synnerligen små.

Svamptid

I går var vädret perfekt för en stunds svampfotografering. Vi valde ett skogsparti ett stenkast hemifrån.

Ljusa skogen

Här växer främst gran, men även en hel del unga lövträd. Marken har för länge sedan varit åker och har fått växa igen mer eller mindre som den velat. Den är kalkrik och bevuxen med många olika örter och gräs, samt med en hel del mossa. Däremot växer ingen tall här. Träden står så glest att solljuset når ned till marken på många ställen.

Mörka skogen

Bara ett hundratal meter längre bort finns ett annat skogsparti som också har varit åkermark. Men där är miljön en helt annan. Där växer bara gran och några få svamparter – knappt ett grönt strå på marken utom längs en upphuggen stig där ljuset kommer åt. Granarna är höga och en del är ganska grova. Det är högst 50 år sedan marken var gräsvall.

Jag själv äter inte svamp, och jag har aldrig gjort det. Jag tycker helt enkelt att konsistensen är motbjudande. Däremot kan smaken av svamp vara god. Torkad svamp – som trattkantarell – finstött och använd som krydda i till exempel såser och köttbullssmet är gott. Dessutom tycker jag att det är roligt att leta, plocka, fotografera och försöka artbestämma svamp.

→ Aprikosspindling, Cortinarius armeniacus, är en av 200-300 arter i det stora släktet Cortinarius, spindlingar eller spindelskivlingar. Förr ansågs en del av arterna som matsvampar, men numera avråder man helt från all förtäring av dem. Dels vet man för litet om vad svamparna innehåller, dels finns det stora förväxlingsrisker och flera av arterna är mycket giftiga. En del arter kan emellertid användas till annat, som blodspindlingen nedan.

← Blek taggsvamp, Hydnum repandum, är en god matsvamp som knappast kan förväxlas med olämpliga svampar och dessutom har fördelen att den är lättrensad. Lämna kvar de riktigt stora svamparna – de kan bli litet beska. Svampen kan frysas, glaskonserveras eller läggas in i ättika, medan torkade svampar kan ge en besk eftersmak.

→ Blodspindling, Cortinarius sanguineus, har mild lukt och smak och hela svampen är mer eller mindre blodröd. Svampen är liten och inte alltför vanlig, men i just det skogsparti där vi hittade den växer den i massor.

Blodspindlingen är en av flera kanelspindlingar som används för färgning av bland annat ullgarn. Den ger intensiva och mustiga röda färger, medan andra kanelspindlingar ger gula färger.

Kanelspindlingarna innehåller så kallade antrakinonfärger, som vanligen är mycket ljusäkta. För att färgen dessutom skall bli tvättäkta sköljer man med ättika efter färgningen.

→ Brun flugsvamp, Amanita regalis, är en giftig svamp. Den innehåller nervpåverkande gift och är en typisk förväxlingssvamp. Den förväxlas med stolt fjällskivling, Macrolepiota procera, som är brun och har ring, men har fasta fjäll som är mörkare än bottenfärgen. Fjällen är inte lösa hyllerester som hos brun flugsvamp. Brun flugsvamp har dessutom hyllerester på den lökformade fotbasen, vilket stolt fjällskivling inte har. Foten är vit, medan den hos stolt fjällskivling är brunvattrad.

Observera att brun flugsvamp har mild smak, svag lukt och ofta är angripen av larver och sniglar. Detta innebär inte att svampen är ogiftig!

← Citrongul slemskivling, Gomphidius glutinosus, sägs vara en hygglig matsvamp, men om man plockar den i fuktigt väder blir den knepig att rensa. Den är mycket slemmig och det kan vara klokt att dra av den slemmiga hatthuden redan i skogen. Man kan ta den från kanten eller skära ett litet kryss mitt på hatten och dra därifrån. Den nedre, gula delen av foten skärs bort – den blir både träig och slemmig.

Äldre fruktkroppar svartnar och då passar de naturligtvis inte i maten. Däremot kan de användas till att färga ullgarn och ger då en mättad brun färg.

→ Dofttaggsvamp eller välluktande taggsvamp, Hydnellum suaveolens, är en seg, träig och hård taggsvamp som ofta innehåller invuxna barr, grässtrån och liknande. Den är alldeles oätlig. Hatten är ojämn och knottrig och färgen växlar från vitt till gulbrunt.

Trots det mycket varierade utseendet är det mycket lätt att känna igen svampen. Den har en intensiv doft av anis eller lavendel och lukten känns på långt håll. Förr torkade man svampen och lade den i linneskåpet för att få väldoftande lakan och handdukar. Man kan göra likadant i dag om man vill. Jag har ett exemplar liggande på tork ute i köket och doften känns in till mig.

← Granblodriska, Lactarius deterrimus, har en kryddigare smak än de andra blodriskorna. Om man inte uppskattar den, kan man använda riskan som blandsvamp tillsammans med mildare svampar. Äter man mycket blodriska kan urinen bli röd, men detta är helt ofarligt och går snart över.

Blodriskor är lätta att känna igen och är riktiga nybörjarsvampar. Köttet är sprött och när man bryter eller snittar svampen sipprar det fram orange/morotsröd eller vinröd saft. Denna saft mörknar snart och blir hos granblodriskan grönaktig när saften torkar. Svampar som har de här båda egenskaperna är inte giftiga.

Blodriskor är ofta insektsangripna, men yttre delen av hatten kan fortfarande vara fin trots att mitten ser ut som ett såll. Rensa redan i skogen och ha gärna en egen burk i svampkorgen för de här småbitarna som annars blir till mos. Blodriskor blir lätt missfärgade och får gröna eller röda fläckar, men smaken påverkas inte av detta. Granblodriskan lämpar sig inte för torkning, eftersom den lätt blir besk. Frys in eller glaskonservera i stället.

→ Granfingersvamp, Ramaria eumorpha, är en av många fingersvampsarter. Där de växer ser man dem ofta i stora grupper. De flesta är saprotrofer, vilket innebär att de hämtar sin näring ur dött organiskt material, i det här fallet granbarr.

Fingersvamp betraktades förr som säker matsvamp, men nu vet man att det finns flera arter och att de dessutom är svåra att skilja från varandra. Flera smakar illa och en av dem är dessutom svagt giftig.

← Gullhorn, Calocera viscosa, kallas även klibbfingersvamp eller hjorthornssvamp. Den är lysande guldgul, klibbig och geléartad i fuktigt väder men blir fastare med torrare yta i torka och får en färg som går mer åt orange.

Det här är ett utmärkt exempel på svårigheterna med att skilja fingersvamparna åt. Gullhorn är nämligen inte ens en fingersvamp utan en gelésvamp.

Gullhorn växer på eller nära murknande grenar och barrträdsstubbar. Den här står i en alldeles egen, bara 20 cm hög gran.

→ Barrbrosking, Micromphale perforans. Den här pyttiga svampen växer tillsammans med sina många fränder på granbarr i mossa. De är många, men så små att man lätt skulle förbise dem om det inte vore för den lysande vita hatten som påminner om ett parasoll. Och förstås den i förhållande till tjockleken jättehöga foten. Foten är ju faktiskt inte tjockare än barret som svampen växer på.

De här svamparna är nära släkt med den läckra nejlikbroskskivlingen, Marasmius oreades, som bildar häxringar i gräsmattor och betesmarker. Men det är knappast mat man tänker på när man ser hjulbroskingarna. Snarare sitter man i mossan och fantiserar om små, små älvor under parasollen.

→ Skogsriska, Lactarius trivialis, är den mest sålda matsvampen i Finland. Den har från början en skarp smak, som dock försvinner efter 5 minuters kokning och påföljande insaltning. Kokningen leder till att svampen blir svagt grönfärgad.

Här hade regnvädret skapat ett vackert och litet hemlighetsfullt "skogsöga" i mossan.

← Skålsvamp – men jag vet inte vilken art det är. Eventuellt är det någon typ av haröra, Otidea sp. De har en lustig form, tycker jag. Varje skål är ungefär 2 cm hög från bottnen och de tycks inte växa sig större.

→ Skäggriska, Lactarius torminosus, hör liksom skogsriskan ovan till de så kallade finska riskorna. Till skillnad från blodriskorna har de finska riskorna inget gemensamt kännetecken som skiljer dem från alla andra riskor.

Det finns många riskor som avger en vit saft när man bryter dem och från början har en skarp smak. De flesta av dessa är oätliga men gruppen finska riskor blir ätliga när de har fått koka i rikligt med vatten i 5-10 minuter. Uttrycket finska riskor har uppkommit genom att riskorna sedan länge har behandlats som matsvamp i Finland.

← Vårtig röksvamp, Lycoperdon perlatum, är den vanligaste röksvampen i Sverige. Den är lätt att känna igen och har blivit en populär matsvamp. Det är bara de unga och fasta fruktkropparna, som fortfarande är helt vita inuti, som används.

Här finns dock en förväxlingsrisk: Små, ännu inte utvecklade flugsvampsknoppar kan uppfattas som röksvampar. Ett snitt genom knoppen visar dock anlaget till skivor och fot hos flugsvampen, medan röksvampen helt saknar synliga strukturer.

Om man är så barnslig som jag, tycker man att det är roligt att klämma på mogna röksvampar för att få se rökmolnet av sporer som slungas ut genom hålet i toppen. I naturen tar till exempel regndroppar hand om denna spridning. Varje droppe som faller på hatten leder till att ett spormoln kastas ut.

Vem är det här? Mysteriet är löst!

Ända sedan den 22 juli, då jag skrev texten närmast nedan, har jag funderat över vad jag fotograferade.

Jag skulle så gärna vilja veta vad den här lilla figuren är för en. Jag hittade honom springande på en trädstam i Bergianska trädgårdens växthus för medelhavsklimatets växter, och jag misstänker att han hör till deras hjälpredor för biologisk bekämpning av skadedjur. Men jag glömde förstås att fråga!

Nu har jag snubblat över svaret, men inte via Bergianska utan på Göteborgs Botaniska Trädgårds hemsida, där jag hamnade på grund av ett nyväckt intresse för myxomyceter (förklarar detta senare).

Det här är larven till en liten brunsvart nyckelpiga, Cryptolaemus montrouzieri, och den används för biologisk bekämpning av ullöss. Nyckelpigan lägger sina ägg direkt i ullusens äggsamlingar. När nyckelpigans ägg kläcks, hamnar larven så att säga mitt i maten och kan börja äta direkt. Enligt Botaniska i Göteborg är det en effektiv metod.

Jag blev glad åt lösningen, och glad över att jag fortfarande kan bli glad åt sådant. Det känns så trivsamt barnsligt.